Если мы обозначим это отношение Ф = a/b, то предыдущее уравнение может быть записано как уравнение второй степени Ф2 — Ф — 1 = 0, положительным решением которого является число
Кроме того, прямоугольник со сторонами а и Ь называется «золотым прямоугольником», если длины его сторон соотносятся в золотой пропорции. Это соотношение использовалось в греческих и египетских канонах красоты, а в эпоху Возрождения привлекало интерес не только математиков, таких как Лука Пачоли, но и художников, в том числе Леонардо да Винчи.
С того времени золотое сечение стало частью культуры. Жак Виллон наряду с другими кубистами заинтересовался им благодаря французскому переводу «Трактата о живописи» Леонардо да Винчи в 1910 г. Именно интерес к этой книге участников группы Пюто объясняет ее название — la Section d'Or («Золотое сечение»), хотя только два члена группы часто использовали золотое сечение в своих работах — Виллон и Грис. Также иногда эта пропорция появлялась у Метценже и Глеза.
Хуан Грис часто использовал золотое сечение в своих работах, например на картинах «Портрет Жермены Рейналь» и «Мужчина в кафе»(вверху), а также «Сидящий Арлекин».
Марсель Дюшан был одним из членов группы из Пюто, особенно интересовавшихся математикой и четвертым измерением. Его подход отличался от подхода других кубистов тем, что Дюшан пытался визуализировать четвертое измерение собственными художественными средствами, применяя математические методы чаще, чем другие художники.
Приведем отрывок из «Диалога с Марселем Дюшаном» (1966) Пьера Кабана:
«Пьер Кабан: Ваши знания математики удивительны, тем более если учесть, что у вас нет специального образования.
Дюшан: Не совсем так. В то время нас интересовало именно четвертое измерение. В „Зеленом ящике" есть много записей о четвертом измерении. Вы помните человека, кажется, его звали Поволовский [имеется в виду Павловский]? Он был редактором на улице Бонапарта. Я забыл его имя. Он писал статьи в журналы о четвертом измерении, приводя аналогии с плоскими двумерными существами… Это было действительно забавно, даже в период кубизма с Принсе.
Пьер Кабан: Принсе был псевдоматематиком, он иронизировал…
Дюшан: Совершенно верно. Мы были не настоящие математики, поэтому мы так верили Принсе. Он производил впечатление осведомленного человека».
Первая из трех картин, которые иллюстрируют интерес Марселя Дюшана к четвертому измерению, — это «Портрет шахматистов» (1911). Из записок Дюшана мы знаем, что он читал работы Пуанкаре и Эспри Жуффре, а также Гастона де Павловского.
Жуффре использовал шахматы в качестве метафоры для визуализации четвертого измерения, сравнивая его с мыслительным процессом шахматиста, который играет одновременно несколько партий вслепую, то есть не глядя на шахматные доски. Темой этой картины является мыслительный процесс шахматиста, хотя тот играет только одну партию. Кроме того, Дюшан, который сам был заядлым шахматистом, сказал в интервью, что он поместил своих игроков в бесконечное пространство (как мы уже говорили, теоретики кубизма связывали четвертое измерение с бесконечным пространством).
Впоследствии Дюшан начал исследовать статическое представление движения, что является одним из методов визуализации четвертого измерения, то есть статического, а не релятивистского пространства-времени. Он говорил о так называемом элементарном параллелизме: «…Поверхность образуется повторением линий точно так, как линия образуется повторяющимися в одном направлении точками. Та же самая аналогия используется при переходе от плоскости к пространству. Непрерывное повторение п-мерных пространств приводит к (n + 1) — мерному пространству».
Дюшан сам пришел к теории Хинтона и других философов, которая описывает гиперкуб как результат движения куба в дополнительном измерении. Картиной этого периода, наилучшим образом отражающей его элементарный параллелизм, является «Обнаженная, спускающаяся по лестнице. № 2» (1912).
В картине «Обнаженная, спускающаяся по лестнице. № 2» (внизу) Дюшан смешивает идеи кубизма, метод различных ракурсов и движение (тут можно даже говорить о пяти измерениях). Источником вдохновения была работа английского фотографа Эдварда Мейбриджа «Женщина, спускающаяся по лестнице» (вверху). Работа вызвала много споров среди кубистов, которые не признавали движение.
Марсель Дюшан, «Невеста, раздетая своими холостяками, одна в двух лицах» («Большое стекло») (1915–1923).
Однако Дюшан пошел еще дальше в своей интерпретации четвертого измерения. В конце 1912 г. он сделал первые наброски своей монументальной работы «Большое стекло». В результате получилась «Невеста», о которой Дюшан сказал, что она была «первым проблеском четвертого измерения» в его работе, поскольку на картине были изображены трехмерные проекции невесты, находящейся в четвертом измерении и позже появившиеся в «Большом стекле». В эти годы он интересовался такими вопросами, как четвертое измерение, машины, антиискусство, психология и отчуждение человека. После переезда в Нью-Йорк в 1915 г. он начал работу над картиной «Невеста, раздетая своими холостяками, одна в двух лицах» («Большое стекло»). С точки зрения визуализации четвертого измерения, центральной идеей того периода были проекции — представление четырехмерных объектов в виде их проекций в трехмерном пространстве. В своих записях об этой картине, собранных в «Белом ящике» и в «Зеленом ящике», он, например, писал: «Тень четырехмерной фигуры в нашем пространстве будет трехмерной тенью». И еще: «…если тени являются двумерными проекциями трехмерного мира, то трехмерный мир — это проекция четырехмерной вселенной».
* * *
ДЮШАН И АНТИИСКУССТВО
Возможно, именно Пабло Пикассо и Марсель Дюшан были художниками, оказавшими наибольшее влияние на искусство XX в. Пикассо был художником в классическом смысле этого слова, он постоянно генерировал новые идеи и воплощал их в своих работах. Дюшан же был художником, который размышлял об искусстве, подвергал его сомнению и даже отвергал его. Он был, по существу, философом искусства. Одним из неожиданных аспектов его подхода является его художественная неактивность — его антиискусство, когда Дюшан заменил картины размышлениями о них. Как сообщалось, в 1912 г. он ушел из мира искусства и начал работать в книжном магазине, но вскоре оставил это дело и переехал в Нью-Йорк. Однако он продолжал работать в течение еще десяти лет, обдумывая свою важнейшую работу «Невеста, раздетая своими холостяками, одна в двух лицах» («Большое стекло») (1915–1923) и делая к ней наброски. Результатом этих размышлений стали два сборника его разрозненных заметок — «Белый ящик» и «Зеленый ящик», в которых были описаны его идеи для «Большого стекла» и размышления о четвертом измерении. С того времени он стал антихудожником, создавая произведения не искусства, а антиискусства. Тем не менее он продолжал оставаться самой влиятельной фигурой в искусстве XX в.